\begin{subsection}{Análisis preliminar de Ramanujan}

		Sean $t_0, t_1, t_2$ los primeros tres términos de la serie del algoritmo implementado, es decir:
			$$t_k = \dfrac{(4k)!(1103+26390k)}{k!^4 396^{4k}}$$

		El cálculo de los primeros tres términos hecho por el algoritmo es \\ $t_0+t_1+t_2$.
		Para analizar el error relativo de los primeros tres términos calculados por el algoritmo analizamos los siguientes errores:
			\newcommand{\errRamaTk}[1]{\ferrdiv[#1]{cast_1}{cast_2}}
			\begin{eqnarray}
				\err{t_k}         &=& \errRamaTk{k} \label{errRamaTk} \\
				\err{t_0+t_1}     &=& \ferrsuma{t_0}{t_1} \label{errRamaT0MasT1} \\
				\err{t_0+t_1+t_2} &=& \ferrsuma{(t_0+t_1)}{t_2} \label{errRama3T} 
			\end{eqnarray}

		Reemplazando \eqref{errRamaT0MasT1} en \eqref{errRama3T}:

			\begin{eqnarray}
				\err{t_0+t_1+t_2} &=& \dfrac{ (t_0+t_1) \left( \ferrsuma{t_0}{t_1} \right) + t_2 \err{t_2} }{ t_0+t_1+t_2 } + \errsuma \nonumber \\
								  &=& \dfrac{ t_0 \err{t_0} + t_1 \err{t_1} + (t_0+t_1)\errsuma + t_2 \err{t_2}} { t_0+t_1+t_2 } + \errsuma \label{errRama3TD}
			\end{eqnarray}

		Sea $R = \frac{\sqrt{8}}{9801} (t1+t2+t3)$
			\begin{eqnarray}
				\err{\frac{\sqrt{8}}{9801}} &=& \ferrdiv{\sqrt{8}}{9801} \nonumber \\
				                            &=& \err{\sqrt{8}}+\errdiv^1 \\
				\err{R} &=& \ferrmult{\frac{\sqrt{8}}{9801}}{t1+t2+t3} \nonumber \\
				        &=& \err{\sqrt{8}}+\errdiv^1 + \err{t1+t2+t3} + \errmult
			\end{eqnarray}
		
		Luego, el error del algoritmo está dado por:
			\begin{eqnarray}
				\err{Ramanujan} &=& \ferrdiv{1}{R} \nonumber \\
				                &=& \errdiv^2 - \err{R} \nonumber \\
								&=& \errdiv^2 - \left(\err{\sqrt{8}}+\errdiv^1 + \err{t1+t2+t3} + \errmult \right) \nonumber \\
								&=& \errdiv^2 - \err{\sqrt{8}} - \errdiv^1 - \err{t1+t2+t3} - \errmult
			\end{eqnarray}

\end{subsection}
